Pierce振荡器的原理与设计方法

 本文介绍皮尔斯振荡器(Pierce Oscillator)的原理与设计方法。

 晶体电路是硬件设计中一个重要环节,其电路的稳定可靠直接关系到产品的使用寿命。皮尔斯振荡器(Pierce Oscillator)在硬件电路中应用广泛,本文对该电路进行学习总结。

基本原理

 皮尔斯振荡器的简化框图如下:可以看作一个放大器与一个反馈网络构成。放大器的电压增益为a,相位差为$\alpha $;反馈网络的增益为f,相位差为$\beta $ 。

 皮尔斯振荡器是一个典型的反馈电路,其环路增益是:

$$\left | a \right |\cdot \left | f \right |\cdot e^{j(\alpha +\beta )}$$

 振荡器的起振条件包含幅值与相位要求如下:

$$\left | a \right |\cdot \left | f \right |\geqslant 1$$

$$\alpha +\beta = 2\cdot n\cdot \pi $$

 该条件即为振荡器的巴克豪森稳定性准则(Barkhausen stability criterion)。在振荡器的环路中,运放可以提供高增益与180°的相位差;此时反馈网络将产生额外的180°相位差。当运放的相位差存在误差时,反馈网络也将自适应地调节自身相位差,以使得环路总相位差为360°。

晶体等效电路

 晶体等效电路如图所示。

其中$C_{0}$为静态电容,与晶体封装以及外部电路有关,一般为若干个pF;

$C_{m}$为动态等效电容,一般为若干fF;

$L_{m}$为动态等效电感,一般为几十mH;

$R_{s}$为动态串联等效电阻,一般为几十Ω;

注意到$C_{0}$远大于$C_{m}$,同时$C_{0}$与晶体封装有关。

等效模型阻抗表达式

 晶体等效电路的阻抗表达式如下:

$$Z(s)=\frac{1}{s\cdot C_{0}}//(s\cdot L_{m}+R_{s}+\frac{1}{s\cdot C_{1}})$$

$$Z(s)=\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{s\cdot C_{0}}}+\frac{1}{s\cdot L_{m}+R_{s}+\frac{1}{s\cdot C_{1}}}}$$

 注意到$R_{s}$的阻抗远低于$L_{m}$与$C_{m}$,将$R_{s}$忽略以简化得到:

$$Z(s)=\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{s\cdot C_{0}}}+\frac{1}{s\cdot L_{m}+\frac{1}{s\cdot C_{1}}}}$$

 即得到:

$$Z(s)=\frac{s^{2}\cdot L_{m}\cdot C_{1}+1}{s\cdot (s^{2}\cdot L_{m}\cdot C_{0}\cdot C_{1}+C_{0}+C_{1})}$$

串联谐振频率与并联谐振频率

 令上式等于0,可以得到电路的串联谐振频率$f_{ser}$:

$$f_{ser}=\frac{s_{ser}}{j\cdot 2\cdot \pi }=\frac{1}{2\cdot \pi\cdot \sqrt{L_{m}\cdot C_{1}}}$$

 令上式等于无穷,可以得到电路地串联谐振频率$f_{par}$:

$$f_{par}=\frac{s_{par}}{j\cdot 2\cdot \pi }=\frac{1}{2\cdot \pi\cdot \sqrt{L_{m}\cdot C_{1}}}\cdot \sqrt{1+\frac{C_{1}}{C_{0}}}$$

$$f_{par}=f_{ser}\cdot \sqrt{1+\frac{C_{1}}{C_{0}}}$$

 从结果上看,在并联谐振频率$f_{par}$的表达式中引入了$C_{0}$参数,$C_{0}$与晶体封装设计有关,无法保证足够的精度,因此使得并联谐振频率$f_{par}$的稳定性低于串联谐振频率$f_{ser}$ 。但是当等效电路处于串联谐振状态时,其阻抗近似等于动态串联等效电阻$R_{s}$,而芯片晶体输入管脚一般为CMOS类型,其具有高输入阻抗,这将形成严重的不匹配

 当等效电路处于并联谐振状态时,其阻抗很高,具体阻抗值后续有推导。为了提高并联谐振频率的稳定性,可以通过增加负载电容$C_{L}$的方式降低$C_{0}$对谐振频率的影响。如下图所示:

 当增加负载电容$C_{L}$时,并联谐振频率的表达式如下所示:

$$f_{par}=\frac{s_{par}}{j\cdot 2\cdot \pi }=\frac{1}{2\cdot \pi\cdot \sqrt{L_{m}\cdot C_{1}}}\cdot \sqrt{1+\frac{C_{1}}{C_{0}+C_{L}}}$$

 注意到$C_{L}$通常为数十pF,其远大于$C_{1}$,最终提高了$f_{par}$的频率稳定性,并使得$f_{par}$趋向于$f_{ser}$ 。

 典型应用中,通常在晶体两端分别设置$C_{L1}$与$C_{L2}$构成负载电容$C_{L}$,如下图所示。需要注意的是,实际电路中$C_{L}$的计算应当包含芯片管脚与PCB走线的寄生电容,这里将寄生电容记为$C_{T1}$与$C_{T2}$。

 $C_{L}$的表达式如下所示:

$$C_{L}=\frac{(C_{L1}+C_{T1})\cdot (C_{L2}+C_{T2})}{C_{L1}+C_{T1}+C_{L2}+C_{T2}}$$

负载电容反馈比

 注意到$C_{L1}$与$C_{L2}$决定了反馈回路的分压比,反馈比例为:

$$K=\frac{C_{L2}}{C_{L1}}$$

 为了保证反馈回路的增益,在设计过程中应当尽可能提高K值。

负载电容敏感度

 当晶体负载电容变化时,晶体的并联谐振频率也将发生变化。晶体的负载电容敏感度(Trim Sensitivity)定义如下:

$$S=\frac{\frac{\mathrm{d} f_{par}}{\mathrm{d} C_{L}}}{f_{par}}$$

$$S=-\frac{1}{2}\cdot \frac{C_{1}}{(1+\frac{C_{1}}{C_{0}+C_{L}})\cdot (C_{0}+C_{L})^{2}}$$

 考虑到$C_{0}$与$C_{L}$远大于$C_{1}$,上式可以近似化得:

$$S\approx -\frac{1}{2}\cdot \frac{C_{1}}{(C_{0}+C_{L})^{2}}$$

$$S\approx -\frac{1}{2}\cdot \frac{C_{1}}{(C_{0}+C_{L})^{2}}\cdot 10^{6}ppm/pF$$

 典型应用中,芯片通过调节管脚的并联等效电容用于调节晶体频偏,例如在放大器输入端调节并联电容实现晶体频偏的校准,此时等效于调节$C_{L1}$。此时晶体的并联谐振频率表达式如下:

$$f_{par}=\frac{1}{2\cdot \pi\cdot \sqrt{L_{m}\cdot C_{1}}}\cdot \sqrt{1+\frac{C_{1}}{C_{0}+\frac{(C_{L1}+C_{T1})\cdot (C_{L2}+C_{T2})}{C_{L1}+C_{T1}+C_{L2}+C_{T2}}}}$$

 晶体相对于$C_{L1}$的负载电容灵敏度为:

$$S=\frac{\frac{\mathrm{d} f_{par}}{\mathrm{d} C_{L1}}}{f_{par}}$$

$$S=-\frac{1}{2}\cdot \frac{C_{1}\cdot \frac{(C_{L2}+C_{T2})^{2}}{(C_{L1}+C_{T1}+C_{L2}+C_{T2})^{2}}}{(1+\frac{C_{1}}{C_{0}+\frac{(C_{L1}+C_{T1})\cdot (C_{L2}+C_{T2})}{C_{L1}+C_{T1}+C_{L2}+C_{T2}}})\cdot (C_{0}+\frac{(C_{L1}+C_{T1})\cdot (C_{L2}+C_{T2})}{C_{L1}+C_{T1}+C_{L2}+C_{T2}})^{2}}$$

 考虑到$C_{0}$与$C_{L}$远大于$C_{1}$,上式可以近似化得:

$$S\approx -\frac{1}{2}\cdot \frac{C_{1}\cdot \frac{(C_{L2}+C_{T2})^{2}}{(C_{L1}+C_{T1}+C_{L2}+C_{T2})^{2}}}{(C_{0}+\frac{(C_{L1}+C_{T1})\cdot (C_{L2}+C_{T2})}{C_{L1}+C_{T1}+C_{L2}+C_{T2}})^{2}}$$

$$S\approx -\frac{1}{2}\cdot \frac{C_{1}\cdot \frac{(C_{L2}+C_{T2})^{2}}{(C_{L1}+C_{T1}+C_{L2}+C_{T2})^{2}}}{(C_{0}+\frac{(C_{L1}+C_{T1})\cdot (C_{L2}+C_{T2})}{C_{L1}+C_{T1}+C_{L2}+C_{T2}})^{2}} \cdot 10^{6}ppm/pF$$

反馈电阻

 当晶体的负载电容为$C_{L}$时,晶体的并联谐振阻抗为:

$$R_{p}= \frac{1-j\cdot \omega \cdot R\cdot (C_{0}+C_{L})}{R\cdot \omega ^{2}\cdot (C_{0}+C_{L})^{2}}$$

$$R_{p}\approx \frac{1}{R\cdot \omega ^{2}\cdot (C_{0}+C_{L})^{2}}$$

 当晶体的反馈电阻为$R_{F}$时,由于反相放大器的开环增益远大于1,其输入阻抗为:

$$Z_{i}=\frac{R_{F}}{a+1} \approx \frac{R_{F}}{a} $$

 令$Z_{i}=R_{p}$,有

$$R_{F}=a\cdot \frac{1}{R\cdot \omega ^{2}\cdot (C_{0}+C_{L})^{2}}$$

文章目录
  1. 1. 基本原理
  2. 2. 晶体等效电路
    1. 2.1. 等效模型阻抗表达式
    2. 2.2. 串联谐振频率与并联谐振频率
    3. 2.3. 负载电容反馈比
    4. 2.4. 负载电容敏感度
    5. 2.5. 反馈电阻
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